Negative Exponenten
Grundregelnegativesci. Not’Neg. Not’Nfractional
Purplemath
Sobald Sie über negative Zahlen gelernt haben, können Sie auch über negative Potenzen lernen. Ein negativer Exponent bedeutet nur, dass sich die Basis auf der falschen Seite der Bruchlinie befindet. Zum Beispiel bedeutet „x–2“ (ausgesprochen als „ecks zu den minus zwei“) nur „x2, aber darunter, wie in
„.
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Schreibe x–4 nur mit positiven Exponenten.
Ich weiß, dass der negative Exponent bedeutet, dass die Basis, das x, auf die andere Seite der Bruchlinie gehört. Aber es gibt keine Bruchlinie!
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Um dies zu beheben, konvertiere ich zuerst den Ausdruck in einen Bruch so, dass jeder Ausdruck in einen Bruch umgewandelt werden kann: indem Sie ihn über „1“ setzen. Sobald ich die Basis auf die andere Seite der Bruchlinie bewege, ist natürlich nichts mehr oben. Aber da alles auch als mit 1 multipliziert angesehen werden kann, lasse ich eine 1 oben.
So sieht es aus:
Sobald ich die „1“ darunter nicht mehr brauchte (um den Bruch zu erstellen), habe ich sie weggelassen, weil ich den Variablenausdruck darunter hatte und die „times one“ nichts ändert.
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Schreiben Sie nur mit positiven Exponenten.
Nur einer der Terme hat einen negativen Exponenten. Dies bedeutet, dass ich nur einen dieser Begriffe verschieben werde. Der Begriff mit der negativen Potenz ist darunter; Dies bedeutet, dass ich ihn nach oben auf die andere Seite der Bruchlinie verschieben werde. Es gibt bereits einen Begriff oben; Ich werde Exponentenregeln verwenden, um diese beiden Begriffe zu kombinieren.
Sobald ich diesen Nenner nach oben bewege, habe ich nichts mehr darunter (außer der „verstandenen“ 1), also lasse ich den Nenner fallen.
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Schreiben Sie 2x–1 nur mit positiven Exponenten.
Die negative Potenz wird nur „1“, sobald ich die Basis auf die andere Seite der Bruchlinie bewege. Alles an der Macht 1 ist nur sich selbst, also werde ich in der Lage sein, diese Macht fallen zu lassen, sobald ich die Basis bewegt habe.
Stellen Sie sicher, dass Sie verstehen, warum sich die obige „2“ nicht mit der Variablen bewegt: Der negative Exponent befindet sich nur auf dem „x“, also bewegt sich nur das x..
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Schreiben Sie (3x) -2 nur mit positiven Exponenten.
Ich habe diesmal eine Zahl in der Potenz sowie eine Variable, daher muss ich daran denken, die numerische Quadrierung zu vereinfachen.
Im Gegensatz zur vorherigen Übung bedeuteten die Klammern, dass die negative Potenz tatsächlich sowohl für die drei als auch für die Variable galt.
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Schreiben Sie nur mit positiven Potenzen.
Die „minus eins“ -Kraft auf dem x bedeutet, dass ich dieses x auf die andere Seite der Bruchlinie verschieben muss. Aber das „Minus“ auf der 5 bedeutet nur, dass die 5 negativ ist. Dieses „Minus“ ist keine Kraft, also sagt es nichts darüber aus, die 5 irgendwohin zu bewegen!
Wenn ich nur das eine Bit verschiebe, das tatsächlich verschoben werden muss, erhalte ich:
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Schreibe nur mit positiven Exponenten.
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Es gibt mehr als eine Möglichkeit, die Schritte für diese Vereinfachung auszuführen. Ich beginne damit, dass der negative Exponent außerhalb der Klammern bedeutet, dass der Zähler darunter und der Nenner oben verschoben werden sollte. Mit anderen Worten, der Bruch innerhalb der Klammern sollte umgedreht werden.
Sobald ich den Bruch umgedreht und die negative äußere Kraft in eine positive umgewandelt habe, verschiebe ich diese Kraft nach der Power-on-a-Power-Regel in die Klammern. In diesem Fall führt dies zu negativen Potenzen auf jedem Zähler und Nenner, also werde ich wieder umdrehen. (Ja, ich nehme den langen Weg.)
Die obige Vereinfachung kann auch erfolgen als:
Anstatt zweimal umzudrehen, bemerkte ich, dass alle Kräfte negativ waren, und bewegte die äußere Kraft auf die inneren; Da „minus mal minus plus ist“, endete ich mit allen positiven Kräften.Hinweis: Während diese zweite Lösung eine schnellere Möglichkeit wäre, die Übung zu erledigen, bedeutet „schneller“ nicht „richtiger“. So oder so ist in Ordnung.
Da Exponenten Multiplikation anzeigen und die Reihenfolge bei der Multiplikation keine Rolle spielt, gibt es oft mehr als eine Abfolge von Schritten, die zu einer gültigen Vereinfachung einer bestimmten Übung dieses Typs führen. Machen Sie sich keine Sorgen, wenn die Schritte in Ihren Hausaufgaben ganz anders aussehen als die Schritte in den Hausaufgaben eines Klassenkameraden. Solange Ihre Schritte korrekt waren, sollten Sie beide am Ende die gleiche Antwort erhalten.
Sie können das Mathway-Widget unten verwenden, um das Vereinfachen von Ausdrücken mit negativen Exponenten zu üben. Probieren Sie die eingegebene Übung aus oder geben Sie Ihre eigene Übung ein. Klicken Sie dann auf die Schaltfläche, um Ihre Antwort mit der von Mathway zu vergleichen. (Oder überspringen Sie das Widget und fahren Sie mit der Lektion fort.)
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Übrigens, jetzt, wo Sie über negative Exponenten Bescheid wissen, können Sie die Logik hinter der Regel „alles zur Potenz Null“ verstehen:
Alles bis zur Potenz Null ist nur „1“.
Warum ist das so? Es gibt verschiedene Erklärungen. Man könnte sagen: „weil so die Regeln funktionieren.“ Eine andere wäre, eine Progression wie die folgende zu verfolgen:
35 = 36 ÷ 3 = 36 ÷ 31 = 36-1 = 35= 243
34 = 35 ÷ 3 = 35 ÷ 31 = 35-1 = 34= 81
33 = 34 ÷ 3 = 34 ÷ 31 = 34-1 = 33= 27
32 = 33 ÷ 3 = 33 ÷ 31 = 33-1 = 32= 9
31 = 32 ÷ 3 = 32 ÷ 31 = 32-1 = 31= 3
In jeder Stufe, wobei jede Stufe eine Potenz hatte, die um eins geringer war als die vorherige, war der vereinfachte Wert gleich dem vorherigen Wert geteilt durch 3. Dann logisch, da 3 ÷ 3 = 1, müssen wir dann haben:
30 = 31 ÷ 3 = 31 ÷ 31 = 31-1 = 30 = 1
Eine Erklärung der negativen Exponenten für „alles bis zur Nullpotenz ist nur 1“ könnte wie folgt lauten:
m0 = m(n – n) = mn × m–n = mn ÷ mn = 1
…da alles, was von selbst geteilt wird, nur „1“ ist.
Kommentar: Bitte bitten Sie mich nicht, 00 zu „definieren“. Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, diese Größe zu betrachten:
Alles, was der Nullpotenz entspricht, ist „1“, also 00 = 1.
Null zu jeder Potenz ist Null, also 00 = 0.
Soweit ich weiß, haben sich die „Math gods“ noch nicht auf eine feste „Definition“ von 00 festgelegt — obwohl, um fair zu sein, ein informeller Konsens zu sein scheint, dass der Wert „sollte“ 1 sein, und fast jede Programmiersprache wird den Wert 1 ausspucken.
In der Analysis wird „00“ als „unbestimmte Form“ bezeichnet, was bedeutet, dass es mathematisch keinen Sinn macht und Ihnen nichts Nützliches sagt. Wenn diese Menge in Ihrer Klasse auftaucht, gehen Sie nicht davon aus: Fragen Sie Ihren Lehrer, was Sie damit machen sollen.
Weitere Beispiele finden Sie hier. Oder fahren Sie mit dieser Lektion fort; scientific notation comes next.
URL: https://www.purplemath.com/modules/exponent2.htm
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